週三 3月 14, 2007 10:37 pm
作品名稱：敵我難測，舉步維艱；暗霧夜行，棄子求先。
摘要：以國粹象棋為實驗範本，取其一遊戲類型「暗棋」，做為探究機率，及預測期望值的工具。同時培養學生對於棋弈的興趣，借推演勝負的契機，以清晰的數學頭腦，釐清蓋住真相的棋子，背後隱藏著什麼奧秘。讓學生自行體會，棋與人生相似，多詭莫測，一旦錯下一步，變化便是始料未及。
壹、研究動機：推論棋手翻棋的一瞬，是黑是紅；或是根據已得的棋種，推估自己可能翻到哪只棋子，同時身邊是什種棋子的機率；棋弈有勝有負，於機率不定的暗棋中，能否找到一個規律，以求每戰必捷？
貳、研究目的：讓學生估算在日常生活中靈活使用機率的妙處，在育樂裡也能享受數學如詩般的邏輯美妙，並沉湎於棋弈博大精深的遼闊世界，開闊視野，增添生活情趣。不被世俗瑣務束縛身心。
参、研究設備及器材：棋盤一副、棋子一副。
肆、研究過程及方法：
一、先備知識：
(一)棋子共有32顆。
(二)分黑與紅兩種顏色。
(三)兵種有七：將(帥)、士(仕)、象(相)、馬、車、包(炮)、卒(兵)
(四)兵種個數：將有一枚；士、象、車、馬、包各兩枚；卒(兵)有五枚。單色總計16枚棋子。
(五)暗棋分為縱九橫五。
(六)棋子強弱：帥將為最強子，但會遭卒、兵反噬。其次順序是士、象、車、馬、包、卒。包(炮)的處境可謂最為自由，隔著一子砲架，可以任意移動，無視強弱吞之。
二、研究過程：
(一)：對弈兩方先決定誰先翻棋，打算以猜拳論勝負。猜拳共有九種情境，甲出剪刀乙出布；甲出剪刀乙出石頭；甲出剪刀乙出剪刀；甲出石頭乙出布；甲出石頭乙出剪刀；甲出石頭乙出石頭；甲出布乙出剪刀；甲出布乙出石頭；甲出布乙出布。結論甲勝乙機率為1/3，甲負乙機率1/3，平手機率亦為1/3。
(二)：決定紅黑：猜拳獲勝者有優先權翻棋子，翻到紅棋或黑棋的機率各為1/2，而負者翻到同樣顏色的機率為1/4(1/2*1/2)，翻到異色的機率則為1/2。
(三)：以實戰棋局，記載每一步的情況，再推估下一步可能有何種情形？又採取哪種措施，會有怎樣的變化。
(四)：實戰棋局如下：
１.第一回合：甲翻掀到黑卒，機率為5/32，剩下4顆黑卒，15顆黑子，同時確定乙方為紅方；乙翻掀至將，機率1/31，最強子已出，剩餘14顆黑子。(圖1、2)
2.第二回合：甲在卒一下翻至黑馬，機率為2/30，剩餘一馬，猶餘13顆黑子；乙方戰術謹慎，於邊隅翻到一紅兵，機率為5/29，剩餘4顆紅兵，15顆紅子。(圖3、4)
3.討論一：開局仍顯緩和，但明顯黑方略佔優勢？紅方能在黑將身邊翻至兵的機率為何？
4.第三回合：甲方翻至黑包，機率為2/28，尚餘12顆黑子，包為一機動性強悍的棋子，乙方明顯不利；乙方為求除去心中芒刺，再包正下方翻開一子，試圖奪回先機，可惜卻是一顆黑士！機率為2/27，尤剩1顆黑士，11顆黑子。紅方面臨困境，士守包尾，難以突破。(圖5、6)
5.第四回合：甲方翻至紅馬，機率為2/26，尚餘一紅馬，14顆紅子；乙方翻至黑卒，機率為4/25，還剩3顆黑卒，10顆黑子。紅方無法貿然吃卒。(圖7、8)
6.第五回合：甲方在黑將右上角翻至紅兵，岌岌可危。機率為4/24，還剩3顆紅兵，13顆紅子；紅方極欲替兵索護，躁進之下在右側翻了一匹黑馬，造成困厄。機率為1/23，黑方猶剩9顆黑子。(圖9、10)
7.第六回合：鏖戰將起，甲方率先以馬踏兵，已吃一子，紅方猶剩四只紅兵能抗衡黑將；乙方另覓天地，不巧又翻至黑象，機率2/22，猶剩1顆黑象，8顆黑子，黑營半數傾巢而出。(圖11、12)
8.討論問題二：紅方能在黑將旁翻至兵的機率有多少？試探討其發生的種種可能。
9.第七回合：甲方冒險在將右方翻子，得另一士，大勢抵定。機率為1/21，黑子尚餘7顆；乙方翻至紅相，稍挽頹勢，機率為2/20，紅方猶剩12顆子。(圖13、14)
10.第八回合：甲在士右翻至紅車，機率為2/19，紅方仍剩11顆子；乙紅車只能上移苟延殘喘。 (圖15、16)
11.第九回合：甲不欲窮凶追趕，在黑士下翻到另一卒，卒已出三，機率為3/18，尚剩兩卒，黑子6顆。乙方在左上方翻至黑象，瀕臨險境，機率為1/17，黑子還有5顆(圖16、17)
12.第十回合：甲於包右翻一紅兵，機率3/16，仍剩2兵，紅方10子；乙方紅兵順勢右進一格吃卒。(圖18、19)
13.第十一回合：甲黑馬上進一步斬兵，兵剩3子；乙方在將右翻至紅士，卻無優勢，機率2/15，紅方仍剩10子未出。(圖20、21)
14.第十二回合：甲於右上翻至黑車，機率2/14，黑方仍有4顆棋子未出；乙方於紅相之右翻至紅兵，機率2/13，尚餘一兵，紅子仍剩9枚。(圖22、23)
15.第十三回合：甲於黑象右翻至紅相，委讓先機於紅方，機率1/12，紅方仍有8子；乙紅相為挽回頹勢，向左屠象，以擴更大的棋局。(圖24、25)
16.第十四回合：甲求勝心切，欲以士為砲架並掩護，於黑士下翻子，不料卻翻至紅帥！機率1/11，紅方仍有7子未出；乙方紅帥乘勝追擊，上進一步除士，並有躍動之姿。(圖26、27)
17.第十五回合：甲欲另闢新局，於將左側翻子，卻翻至紅炮，機率2/10，紅方仍有1炮，6子未出；乙趁勢借將之力擊士，捨炮求勢。(圖27、28)
18.至此，黑方損失兩士，紅方轉劣為優。大局已定。但仍有未知變數。
19.討論三：關於黑方自由子包的出現機率，能否影響整體戰局？
20.討論四：在第十四回合，若將黑方未翻到紅炮，那麼會有何影響？
伍、研究結果：
一、問題一：黑方略佔優勢的理由？紅方能否一開始便在將旁翻到兵，開局便掌握局勢？
答：黑子已出數顆，局面上可供操掌的棋子多，但並不能作為勝負的關鍵。至於翻到兵，機率為4/28，只因兵已出一子，尚餘四子。但機率過小，不值躁進，而翻到紅方強子的機率高些：帥1/28、士2/28、相2/28、炮2/28，合計7/28。稍嫌不利。
二、問題二：紅方能在黑將旁翻至兵的機率有多少？試探討其發生的種種可能。
答：尚有21顆棋子未翻，紅兵被吃一子，待機一子，故在將旁翻至紅兵的機率為3/21，可惜將之左右有黑馬環伺，故雖能翻至紅兵，也只能引頸就戮。基本上此時無法再以機率取巧，而應以別處著手，製造勝機。翻到帥的機率是1/21，但一翻即亡，同理，紅士紅相亦同，只是虛擲了勝機。
棋種 帥 士 相 車 馬 炮 兵
機率 1/21 2/21 2/21 2/21 1/21 2/21 3/21
三、問題三：關於黑方自由子包的出現機率，能否影響整體戰局？
答：未掀子少時，包之自由已受局限，在僅剩11子未翻的局面，包之出現對戰局毫無影響。畢竟它是開局仰賴的奇兵，過了時機反倒成為阻礙空路的贅子。
四、問題四：在第十四回合，若黑方未翻到紅炮，那麼會有何影響？
答：影響頗深，由於黑方完即是紅方，恰巧替紅方營造攻擊之先機。黑方立即損失一士，而先前又被帥吃去一士，力量大為削減。翻到炮之機率為2/10，猶大於翻至紅兵的1/10，故黑方敢一賭生死，卻是出乎意料。若未翻至紅炮，會有以下可能：
紅方：
棋種 帥 士 相 車 馬 炮 兵
機率 已出 1/10 已出 1/10 1/10 2/10 1/10
翻至紅方之機率為6/10。
黑方：
棋種 將 士 象 車 馬 包 卒
機率 已出 已出 已出 1/10 已出 1/10 2/10
翻至黑方之機率為4/10。總體而言就黑方不利。
陸、討論
一：如何能掌握整個局面？答：因時制宜，機率本是無定論的。因時機考驗自己的應變。但大前提是：不要任意翻動棋子。例：將的左右雖有可能是紅子，卻亦可能翻到紅兵，機率為5/31。而紅方其餘子的機率總和為11/31。
二：強子被吃時該如何應對？答：遠避對方強子，避免直攖其鋒。另覓他方翻子，製造空間讓幾方強子出現。
三：能否度量對方心思？答：判斷對方殘子與局面上的情勢，若是於對方有利，則得注意己方弱棋身邊的未掀子，可以先估算其出現兵種。
四：光於掀子，有何有利的技巧？答：盡量往勢力分散的地方翻掀，盡量翻角落，造成只需考量兩個方向的來敵，減少碰上危險的機率。
柒、結論
一：確保強子留存，估算相剋之子出現的機率，妥善應對方能取勝。
二：確保行路的空間，增加鄰近我方棋子的機率(未翻掀)，但同時也存有必要性的風險。
三：局勢未到最後，不能確定輸贏。機率僅是參考，難料未來的發展與對弈之人的心思。但可估衡自己的選擇會帶來何等後果，知彼知己，百戰不殆。
四：機率運用於日常生活的機會頗多，稍加深究，不僅增添生活情調，亦能滋沛心靈，充實人心。
捌、參考資料及其他：
溫滿紅、張乃文、楊柏偉(民國95)。象棋開局精要。台北：品冠文化
言穆江(民國96) 。象棋中局薈萃。台北：品冠文化
閻文清、張強(民國89)。佈局騙著與對策。北京：體育大學出版社
p.s反正就惡搞吧。
摘要：以國粹象棋為實驗範本，取其一遊戲類型「暗棋」，做為探究機率，及預測期望值的工具。同時培養學生對於棋弈的興趣，借推演勝負的契機，以清晰的數學頭腦，釐清蓋住真相的棋子，背後隱藏著什麼奧秘。讓學生自行體會，棋與人生相似，多詭莫測，一旦錯下一步，變化便是始料未及。
壹、研究動機：推論棋手翻棋的一瞬，是黑是紅；或是根據已得的棋種，推估自己可能翻到哪只棋子，同時身邊是什種棋子的機率；棋弈有勝有負，於機率不定的暗棋中，能否找到一個規律，以求每戰必捷？
貳、研究目的：讓學生估算在日常生活中靈活使用機率的妙處，在育樂裡也能享受數學如詩般的邏輯美妙，並沉湎於棋弈博大精深的遼闊世界，開闊視野，增添生活情趣。不被世俗瑣務束縛身心。
参、研究設備及器材：棋盤一副、棋子一副。
肆、研究過程及方法：
一、先備知識：
(一)棋子共有32顆。
(二)分黑與紅兩種顏色。
(三)兵種有七：將(帥)、士(仕)、象(相)、馬、車、包(炮)、卒(兵)
(四)兵種個數：將有一枚；士、象、車、馬、包各兩枚；卒(兵)有五枚。單色總計16枚棋子。
(五)暗棋分為縱九橫五。
(六)棋子強弱：帥將為最強子，但會遭卒、兵反噬。其次順序是士、象、車、馬、包、卒。包(炮)的處境可謂最為自由，隔著一子砲架，可以任意移動，無視強弱吞之。
二、研究過程：
(一)：對弈兩方先決定誰先翻棋，打算以猜拳論勝負。猜拳共有九種情境，甲出剪刀乙出布；甲出剪刀乙出石頭；甲出剪刀乙出剪刀；甲出石頭乙出布；甲出石頭乙出剪刀；甲出石頭乙出石頭；甲出布乙出剪刀；甲出布乙出石頭；甲出布乙出布。結論甲勝乙機率為1/3，甲負乙機率1/3，平手機率亦為1/3。
(二)：決定紅黑：猜拳獲勝者有優先權翻棋子，翻到紅棋或黑棋的機率各為1/2，而負者翻到同樣顏色的機率為1/4(1/2*1/2)，翻到異色的機率則為1/2。
(三)：以實戰棋局，記載每一步的情況，再推估下一步可能有何種情形？又採取哪種措施，會有怎樣的變化。
(四)：實戰棋局如下：
１.第一回合：甲翻掀到黑卒，機率為5/32，剩下4顆黑卒，15顆黑子，同時確定乙方為紅方；乙翻掀至將，機率1/31，最強子已出，剩餘14顆黑子。(圖1、2)
2.第二回合：甲在卒一下翻至黑馬，機率為2/30，剩餘一馬，猶餘13顆黑子；乙方戰術謹慎，於邊隅翻到一紅兵，機率為5/29，剩餘4顆紅兵，15顆紅子。(圖3、4)
3.討論一：開局仍顯緩和，但明顯黑方略佔優勢？紅方能在黑將身邊翻至兵的機率為何？
4.第三回合：甲方翻至黑包，機率為2/28，尚餘12顆黑子，包為一機動性強悍的棋子，乙方明顯不利；乙方為求除去心中芒刺，再包正下方翻開一子，試圖奪回先機，可惜卻是一顆黑士！機率為2/27，尤剩1顆黑士，11顆黑子。紅方面臨困境，士守包尾，難以突破。(圖5、6)
5.第四回合：甲方翻至紅馬，機率為2/26，尚餘一紅馬，14顆紅子；乙方翻至黑卒，機率為4/25，還剩3顆黑卒，10顆黑子。紅方無法貿然吃卒。(圖7、8)
6.第五回合：甲方在黑將右上角翻至紅兵，岌岌可危。機率為4/24，還剩3顆紅兵，13顆紅子；紅方極欲替兵索護，躁進之下在右側翻了一匹黑馬，造成困厄。機率為1/23，黑方猶剩9顆黑子。(圖9、10)
7.第六回合：鏖戰將起，甲方率先以馬踏兵，已吃一子，紅方猶剩四只紅兵能抗衡黑將；乙方另覓天地，不巧又翻至黑象，機率2/22，猶剩1顆黑象，8顆黑子，黑營半數傾巢而出。(圖11、12)
8.討論問題二：紅方能在黑將旁翻至兵的機率有多少？試探討其發生的種種可能。
9.第七回合：甲方冒險在將右方翻子，得另一士，大勢抵定。機率為1/21，黑子尚餘7顆；乙方翻至紅相，稍挽頹勢，機率為2/20，紅方猶剩12顆子。(圖13、14)
10.第八回合：甲在士右翻至紅車，機率為2/19，紅方仍剩11顆子；乙紅車只能上移苟延殘喘。 (圖15、16)
11.第九回合：甲不欲窮凶追趕，在黑士下翻到另一卒，卒已出三，機率為3/18，尚剩兩卒，黑子6顆。乙方在左上方翻至黑象，瀕臨險境，機率為1/17，黑子還有5顆(圖16、17)
12.第十回合：甲於包右翻一紅兵，機率3/16，仍剩2兵，紅方10子；乙方紅兵順勢右進一格吃卒。(圖18、19)
13.第十一回合：甲黑馬上進一步斬兵，兵剩3子；乙方在將右翻至紅士，卻無優勢，機率2/15，紅方仍剩10子未出。(圖20、21)
14.第十二回合：甲於右上翻至黑車，機率2/14，黑方仍有4顆棋子未出；乙方於紅相之右翻至紅兵，機率2/13，尚餘一兵，紅子仍剩9枚。(圖22、23)
15.第十三回合：甲於黑象右翻至紅相，委讓先機於紅方，機率1/12，紅方仍有8子；乙紅相為挽回頹勢，向左屠象，以擴更大的棋局。(圖24、25)
16.第十四回合：甲求勝心切，欲以士為砲架並掩護，於黑士下翻子，不料卻翻至紅帥！機率1/11，紅方仍有7子未出；乙方紅帥乘勝追擊，上進一步除士，並有躍動之姿。(圖26、27)
17.第十五回合：甲欲另闢新局，於將左側翻子，卻翻至紅炮，機率2/10，紅方仍有1炮，6子未出；乙趁勢借將之力擊士，捨炮求勢。(圖27、28)
18.至此，黑方損失兩士，紅方轉劣為優。大局已定。但仍有未知變數。
19.討論三：關於黑方自由子包的出現機率，能否影響整體戰局？
20.討論四：在第十四回合，若將黑方未翻到紅炮，那麼會有何影響？
伍、研究結果：
一、問題一：黑方略佔優勢的理由？紅方能否一開始便在將旁翻到兵，開局便掌握局勢？
答：黑子已出數顆，局面上可供操掌的棋子多，但並不能作為勝負的關鍵。至於翻到兵，機率為4/28，只因兵已出一子，尚餘四子。但機率過小，不值躁進，而翻到紅方強子的機率高些：帥1/28、士2/28、相2/28、炮2/28，合計7/28。稍嫌不利。
二、問題二：紅方能在黑將旁翻至兵的機率有多少？試探討其發生的種種可能。
答：尚有21顆棋子未翻，紅兵被吃一子，待機一子，故在將旁翻至紅兵的機率為3/21，可惜將之左右有黑馬環伺，故雖能翻至紅兵，也只能引頸就戮。基本上此時無法再以機率取巧，而應以別處著手，製造勝機。翻到帥的機率是1/21，但一翻即亡，同理，紅士紅相亦同，只是虛擲了勝機。
棋種 帥 士 相 車 馬 炮 兵
機率 1/21 2/21 2/21 2/21 1/21 2/21 3/21
三、問題三：關於黑方自由子包的出現機率，能否影響整體戰局？
答：未掀子少時，包之自由已受局限，在僅剩11子未翻的局面，包之出現對戰局毫無影響。畢竟它是開局仰賴的奇兵，過了時機反倒成為阻礙空路的贅子。
四、問題四：在第十四回合，若黑方未翻到紅炮，那麼會有何影響？
答：影響頗深，由於黑方完即是紅方，恰巧替紅方營造攻擊之先機。黑方立即損失一士，而先前又被帥吃去一士，力量大為削減。翻到炮之機率為2/10，猶大於翻至紅兵的1/10，故黑方敢一賭生死，卻是出乎意料。若未翻至紅炮，會有以下可能：
紅方：
棋種 帥 士 相 車 馬 炮 兵
機率 已出 1/10 已出 1/10 1/10 2/10 1/10
翻至紅方之機率為6/10。
黑方：
棋種 將 士 象 車 馬 包 卒
機率 已出 已出 已出 1/10 已出 1/10 2/10
翻至黑方之機率為4/10。總體而言就黑方不利。
陸、討論
一：如何能掌握整個局面？答：因時制宜，機率本是無定論的。因時機考驗自己的應變。但大前提是：不要任意翻動棋子。例：將的左右雖有可能是紅子，卻亦可能翻到紅兵，機率為5/31。而紅方其餘子的機率總和為11/31。
二：強子被吃時該如何應對？答：遠避對方強子，避免直攖其鋒。另覓他方翻子，製造空間讓幾方強子出現。
三：能否度量對方心思？答：判斷對方殘子與局面上的情勢，若是於對方有利，則得注意己方弱棋身邊的未掀子，可以先估算其出現兵種。
四：光於掀子，有何有利的技巧？答：盡量往勢力分散的地方翻掀，盡量翻角落，造成只需考量兩個方向的來敵，減少碰上危險的機率。
柒、結論
一：確保強子留存，估算相剋之子出現的機率，妥善應對方能取勝。
二：確保行路的空間，增加鄰近我方棋子的機率(未翻掀)，但同時也存有必要性的風險。
三：局勢未到最後，不能確定輸贏。機率僅是參考，難料未來的發展與對弈之人的心思。但可估衡自己的選擇會帶來何等後果，知彼知己，百戰不殆。
四：機率運用於日常生活的機會頗多，稍加深究，不僅增添生活情調，亦能滋沛心靈，充實人心。
捌、參考資料及其他：
溫滿紅、張乃文、楊柏偉(民國95)。象棋開局精要。台北：品冠文化
言穆江(民國96) 。象棋中局薈萃。台北：品冠文化
閻文清、張強(民國89)。佈局騙著與對策。北京：體育大學出版社
p.s反正就惡搞吧。
